Математическое творчество: как получают математические результаты

0
Рыжачков Анатолий Александрович9/16/2019

Математик не скажет: «Я работал», он скажет: «Я занимался». Это значит, он занимался математикой. Может быть, читал мате­матическую работу, может быть, старался доказать новую теорему, может быть писал собственную работу, излагая уже полученные результаты. Обо всем этом говорится: «занимался».

Иногда мне задают вопрос: в чем состоит кухня математического творчества, или иначе: в чем заключается кухня математических занятий, т. е. как получаются новые математические результаты. Полноценного ответа на этот вопрос, я думаю, дать нельзя. Один из героев А. С. Пушкина («Египетские ночи») говорит: «Всякий талант неизъясним». Подражая Пушкину, можно было бы сказать: процесс математического творчества неизъясним.

Стараясь объяснить процесс научного творчества, Пуанкаре отно­сил значительную часть его на подсознательную деятельность мозга. Делая это, он тем самым отказывался от ответа на вопрос, так как подсознательная деятельность мозга не наблюдаема. Все же я ду­маю, что кое-что о процессе математических занятий сказать мож­но, и постараюсь это сделать.

Главная часть математических занятий заключается в получе­нии новых математических результатов. Математические результа­ты я делю на два различных типа.

1-й тип. Математический результат предвидится и формули­руется заранее, почти без всяких занятий, а занятия должны дать ответ на вопрос: верен ли формулируемый результат или не верен. То есть здесь имеется лишь два возможных ответа: да или нет.

2-й тип. Математический результат нельзя предвидеть за­ранее без всякого научного исследования. Математик имеет дело с какой-то задачей или явлением и ответа заранее предвидеть не может. Его нужно найти. Это и будет результат. В этом случае ре­зультат представляет собой совершенно новое математическое яв­ление, или, иначе говоря, новую картину, которую нужно найти, одновременно убеждаясь в том, что она правильна и дает решение поставленной задачи.

Для результата 1-го типа главный интерес, как правило, заклю­чается в его доказательстве, а не в формулировке. Для результата 2-го типа интересна формулировка, а не только доказательство. Мне лично гораздо больше нравятся результаты 2-го типа. Приведу клас­сические образцы результатов 1-го и 2-го типов.

Результат 1-го типа: проблема Гольдбаха. Еще в XVIII столетии петербургский академик Гольдбах сформулировал следующую те­орему: каждое четное число может быть представлено как сумма двух простых чисел. Проблема Гольдбаха заключается в том, чтобы дать ответ на вопрос, правильна ли эта теорема или неправильна.

Проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Ослабленная пробле­ма Гольдбаха была решена И. М. Виноградовым в 1937 году. Она заключается в следующем. Легко видеть, что если теорема Гольд­баха верна, то каждое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел. Однако из этой теоремы не следует теорема Гольдбаха. Когда говорят, что Виноградов решил пробле­му Гольдбаха, то имеют в виду данное им доказательство теоремы о том, что всякое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел. Доказать теорему Гольдбаха очень трудно, так как в ней увязываются аддитивные и мультипликативные свойства целых чисел, кроме того, трудность видна также из того, что она до сих пор не поддается решению, а решена только частично и то с огромным трудом. Заслуга Виноградова заключается не столько в том, что он решил ослабленную проблему Гольдбаха, а в том, что он создал новый метод — метод тригонометрических сумм, позво­ливший ему решить ряд теоретико-числовых проблем. В частности, ослабленную проблему Гольдбаха.

Результат 2-го типа. Предельные циклы Пуанкаре. Если состо­яние технического или физического объекта определяется двумя величинами х, у, то процесс изменения этих величин во времени обычно описывается системой двух обыкновенных дифференциаль­ных уравнений

Dx/Dt= f (x, y)    Dy/Dt = g(х, у)         (1)

Здесь правые части уравнений не зависят от времени t, т. е. си­стема (1) автономна. Систему дифференциальных уравнений (1) можно интерпретировать на плоскости в виде векторного поля, ста­вя в соответствие каждой точке (х, у) плоскости фазовый вектор (f(х, у), g(х, у)). Решение системы (1) можно также интерпретиро­вать в виде линии на той же фазовой плоскости. Для этого проводят линию, описываемую решением (х(t ), y(t)) на фазовой плоскости, считая t параметром. Эти линии называются фазовыми траектори­ями системы (1). Они не пересекаются между собой, покрывают всю плоскость и дают так называемую фазовую картину решений системы дифференциальных уравнений (1). Две эти интерпретации связаны между собой. Фазовой вектор, отнесенный к точке (х, y) касается фазовой траектории, проходящей через эту точку.

Если задано начальное значение (x0 , у0) при заданном значении времени t0 то, конечно, можно вычислить решение системы урав­нений (1) при этом начальном значении на любом конечном отрезке времени/ Возможность нахождения численного решения дают современные вычислительные машины. Но нахождение таких решений на конечном отрезке времени не решает всех проблем, которые возникают относительно системы дифференциальных урав­нений (1). Так, вопрос о том, имеет ли система уравнений (1) перио­дические решения, т. е. замкнутые фазовые траектории, решить, вы­числяя решения на конечных отрезках времени, невозможно. Точно так же невозможно решить вопрос о том, как ведут себя траектории, когда время неограниченно возрастает, а это очень важно для раз­ных технических вопросов. На все это обратил внимание Пуанкаре, введя в рассмотрение фазовую картину системы дифференциальных уравнений (1), положив этим начало качественной теории диффе­ренциальных уравнений.

Пуанкаре принадлежит основное понятие, возникшее в качест­венной теории, — понятие предельного цикла. Периодическое ре­шение системы (1) изображается на плоскости в виде замкнутой фазовой траектории. Если вблизи нее нет других замкнутых траек­торий, то эта замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Оказывается, что фазовые траектории, проходящие вблизи предельного цикла, наматываются на него как спирали и изнутри, и снаружи, при неограниченном возрастании или убывании време­ни t. В предположении некоторой общности положения оказывает­ся, что траектории на предельный цикл снаружи и изнутри наматы­ваются в обоих случаях либо при возрастании t, либо при убывании времени t. Если они наматываются при возрастании времени t то предельный цикл является устойчивым решением. Физический при­бор, описанный системой (1), может работать на этом предельном цикле, т. е. выдавать устойчивые периодические колебания. Пуан­каре обратил внимание также на значение положения равновесия системы (1), т. е. таких точек фазовой плоскости, которые обращают в нуль правые части дифференциальных уравнений (1). Эти точки являются постоянными решениями системы (1). Поведение траек­торий вблизи них играет важную роль. Оно было изучено Пуанкаре, и он дал классификацию положений равновесия на основании этого поведения.

Качественная теория системы уравнений (1), построенная Пуан­каре, является характерным результатом 2-го типа. Ясно, что очень важно было решить систему уравнений (1), но получить ее решение в виде формул удается лишь дня очень немногих систем уравнений. Поэтому возникла задача найти какой-то новый подход к рассмо­трению этих уравнений. Это сделал Пуанкаре, сосредоточив свое внимание на фазовой картине траекторий. Он извлек из этой фазо­вой картины то важнейшее, что она дает. Это предельные циклы, положения равновесия и общий характер поведения траекторий при неограниченно возрастающем t. Таким образом, было обнаружено новое математическое явление, предвидеть которое исходя из си­стемы (1) невозможно.

Понтрягин Л.С. Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленного им самим. – 4-е изд. - М: КомКнига, 2012. — С. 82-85.
Следующая статья
Психология и психофизиология
Влияние идей А. А. Ухтомского на современное научное мышление
А. А. Ухтомский как-то высказал мысль о том, что истинная зна­чимость научной теории состоит в том, что из нее вынесут грядущие поколения исследователей. Сегодня наступает новое время — многие гениальные научные предвидения Ухтомского уже нашли блестящее экспериментальное подтверждение в работах его учеников и последо­вателей и позволили каждому из них внести свой творческий вклад в изучение детерминирующих начал поведения и психики человека. Уместно вспомнить слова другого выдающегося русского ученого, со­временника Ухтомского, также питомца Санкт-Петербургского уни­верситета, В. И. Вернадско...
Психология и психофизиология
Влияние идей А. А. Ухтомского на современное научное мышление
Естественные науки
Этапы развития науки на примере географии
Теория Творчества
СТРУКТУРА как теоретическая модель по У. Эко
Теория Творчества
Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений
Биографии
Иван Петрович Павлов получает Нобелевскую премию
Естественные науки
Этические проблемы биомедицины и биотехнологий
Психология и психофизиология
Методологический кризис в психологии
Бизнес и экономика
История технологий — телеграф
Теория Творчества
Задачи АРИЗ: примеры решений
Естественные науки
ОТ «КУЛЬТА АТОМА» К «КУЛЬТУ ФИЗИКИ»
Теория Творчества
4 метода опытного исследования по Дж. Ст. Миллю
Теория Творчества
Изобретательство в области гуманитарных наук
Естественные науки
ФИЗИКИ: КТО ЕСТЬ КТО и сколько их?
Гуманитарные науки
Причины и действия по Дэвиду Юму
Теория Творчества
Научный метод исследования по Джону Дьюи
Livrezon-технологии
Требования, предъявляемые к дипломной работе, по Умберто Эко