Математическое творчество: как получают математические результаты

0
Рыжачков Анатолий Александрович9/16/2019

Математик не скажет: «Я работал», он скажет: «Я занимался». Это значит, он занимался математикой. Может быть, читал мате­матическую работу, может быть, старался доказать новую теорему, может быть писал собственную работу, излагая уже полученные результаты. Обо всем этом говорится: «занимался».

Иногда мне задают вопрос: в чем состоит кухня математического творчества, или иначе: в чем заключается кухня математических занятий, т. е. как получаются новые математические результаты. Полноценного ответа на этот вопрос, я думаю, дать нельзя. Один из героев А. С. Пушкина («Египетские ночи») говорит: «Всякий талант неизъясним». Подражая Пушкину, можно было бы сказать: процесс математического творчества неизъясним.

Стараясь объяснить процесс научного творчества, Пуанкаре отно­сил значительную часть его на подсознательную деятельность мозга. Делая это, он тем самым отказывался от ответа на вопрос, так как подсознательная деятельность мозга не наблюдаема. Все же я ду­маю, что кое-что о процессе математических занятий сказать мож­но, и постараюсь это сделать.

Главная часть математических занятий заключается в получе­нии новых математических результатов. Математические результа­ты я делю на два различных типа.

1-й тип. Математический результат предвидится и формули­руется заранее, почти без всяких занятий, а занятия должны дать ответ на вопрос: верен ли формулируемый результат или не верен. То есть здесь имеется лишь два возможных ответа: да или нет.

2-й тип. Математический результат нельзя предвидеть за­ранее без всякого научного исследования. Математик имеет дело с какой-то задачей или явлением и ответа заранее предвидеть не может. Его нужно найти. Это и будет результат. В этом случае ре­зультат представляет собой совершенно новое математическое яв­ление, или, иначе говоря, новую картину, которую нужно найти, одновременно убеждаясь в том, что она правильна и дает решение поставленной задачи.

Для результата 1-го типа главный интерес, как правило, заклю­чается в его доказательстве, а не в формулировке. Для результата 2-го типа интересна формулировка, а не только доказательство. Мне лично гораздо больше нравятся результаты 2-го типа. Приведу клас­сические образцы результатов 1-го и 2-го типов.

Результат 1-го типа: проблема Гольдбаха. Еще в XVIII столетии петербургский академик Гольдбах сформулировал следующую те­орему: каждое четное число может быть представлено как сумма двух простых чисел. Проблема Гольдбаха заключается в том, чтобы дать ответ на вопрос, правильна ли эта теорема или неправильна.

Проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Ослабленная пробле­ма Гольдбаха была решена И. М. Виноградовым в 1937 году. Она заключается в следующем. Легко видеть, что если теорема Гольд­баха верна, то каждое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел. Однако из этой теоремы не следует теорема Гольдбаха. Когда говорят, что Виноградов решил пробле­му Гольдбаха, то имеют в виду данное им доказательство теоремы о том, что всякое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел. Доказать теорему Гольдбаха очень трудно, так как в ней увязываются аддитивные и мультипликативные свойства целых чисел, кроме того, трудность видна также из того, что она до сих пор не поддается решению, а решена только частично и то с огромным трудом. Заслуга Виноградова заключается не столько в том, что он решил ослабленную проблему Гольдбаха, а в том, что он создал новый метод — метод тригонометрических сумм, позво­ливший ему решить ряд теоретико-числовых проблем. В частности, ослабленную проблему Гольдбаха.

Результат 2-го типа. Предельные циклы Пуанкаре. Если состо­яние технического или физического объекта определяется двумя величинами х, у, то процесс изменения этих величин во времени обычно описывается системой двух обыкновенных дифференциаль­ных уравнений

Dx/Dt= f (x, y)    Dy/Dt = g(х, у)         (1)

Здесь правые части уравнений не зависят от времени t, т. е. си­стема (1) автономна. Систему дифференциальных уравнений (1) можно интерпретировать на плоскости в виде векторного поля, ста­вя в соответствие каждой точке (х, у) плоскости фазовый вектор (f(х, у), g(х, у)). Решение системы (1) можно также интерпретиро­вать в виде линии на той же фазовой плоскости. Для этого проводят линию, описываемую решением (х(t ), y(t)) на фазовой плоскости, считая t параметром. Эти линии называются фазовыми траектори­ями системы (1). Они не пересекаются между собой, покрывают всю плоскость и дают так называемую фазовую картину решений системы дифференциальных уравнений (1). Две эти интерпретации связаны между собой. Фазовой вектор, отнесенный к точке (х, y) касается фазовой траектории, проходящей через эту точку.

Если задано начальное значение (x0 , у0) при заданном значении времени t0 то, конечно, можно вычислить решение системы урав­нений (1) при этом начальном значении на любом конечном отрезке времени/ Возможность нахождения численного решения дают современные вычислительные машины. Но нахождение таких решений на конечном отрезке времени не решает всех проблем, которые возникают относительно системы дифференциальных урав­нений (1). Так, вопрос о том, имеет ли система уравнений (1) перио­дические решения, т. е. замкнутые фазовые траектории, решить, вы­числяя решения на конечных отрезках времени, невозможно. Точно так же невозможно решить вопрос о том, как ведут себя траектории, когда время неограниченно возрастает, а это очень важно для раз­ных технических вопросов. На все это обратил внимание Пуанкаре, введя в рассмотрение фазовую картину системы дифференциальных уравнений (1), положив этим начало качественной теории диффе­ренциальных уравнений.

Пуанкаре принадлежит основное понятие, возникшее в качест­венной теории, — понятие предельного цикла. Периодическое ре­шение системы (1) изображается на плоскости в виде замкнутой фазовой траектории. Если вблизи нее нет других замкнутых траек­торий, то эта замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Оказывается, что фазовые траектории, проходящие вблизи предельного цикла, наматываются на него как спирали и изнутри, и снаружи, при неограниченном возрастании или убывании време­ни t. В предположении некоторой общности положения оказывает­ся, что траектории на предельный цикл снаружи и изнутри наматы­ваются в обоих случаях либо при возрастании t, либо при убывании времени t. Если они наматываются при возрастании времени t то предельный цикл является устойчивым решением. Физический при­бор, описанный системой (1), может работать на этом предельном цикле, т. е. выдавать устойчивые периодические колебания. Пуан­каре обратил внимание также на значение положения равновесия системы (1), т. е. таких точек фазовой плоскости, которые обращают в нуль правые части дифференциальных уравнений (1). Эти точки являются постоянными решениями системы (1). Поведение траек­торий вблизи них играет важную роль. Оно было изучено Пуанкаре, и он дал классификацию положений равновесия на основании этого поведения.

Качественная теория системы уравнений (1), построенная Пуан­каре, является характерным результатом 2-го типа. Ясно, что очень важно было решить систему уравнений (1), но получить ее решение в виде формул удается лишь дня очень немногих систем уравнений. Поэтому возникла задача найти какой-то новый подход к рассмо­трению этих уравнений. Это сделал Пуанкаре, сосредоточив свое внимание на фазовой картине траекторий. Он извлек из этой фазо­вой картины то важнейшее, что она дает. Это предельные циклы, положения равновесия и общий характер поведения траекторий при неограниченно возрастающем t. Таким образом, было обнаружено новое математическое явление, предвидеть которое исходя из си­стемы (1) невозможно.

Понтрягин Л.С. Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленного им самим. – 4-е изд. - М: КомКнига, 2012. — С. 82-85.
Следующая статья
Искусство и дизайн
Особенности работ архитектора Растрелли
Интерьеры, созданные Растрелли, можно разбить на две основные группы соответственно основным декоративным средствам, примененным в том или другом случае. В одной группе (к ней относятся, прежде всего залы Петергофского и Екатерининского дворцов) господствует золоченое резное дерево; сложные композиции резных обрамлений образуют основной пластический и цветовой мотив убранства. Здесь Растрелли широко пользуется мастерством русских резчиков. В сплетениях гирлянд, картушей и «рокайлей», наряду с орнаментальными мотивами барокко, легко узнаются черты древнерусских резных иконостасов.
Искусство и дизайн
Особенности работ архитектора Растрелли
Естественные науки
Как распоряжаться чужой жизнью?
Гуманитарные науки
Бертран Рассел: краткий обзор философии Фридриха Ницше
Биографии
400 км пленки для фильма «Олимпия»
Биографии
Почему супруги Кюри не заработали на открытии радия?
Искусство и дизайн
Методология художественной и эстетической критики. Часть 2
Искусство и дизайн
Методология анализа художественного произведения. Часть 1.
Биографии
Отношение творческой личности к собственным ошибкам
Естественные науки
Психологические особенности пожилого человека
Биографии
Чарли Чаплин: 20 советов Интеллектуалам XXI века
Теория Творчества
Как совершить открытие в науке по А. Маслоу?
Бизнес и экономика
Советы молодым ученым по Джеймсу Уотсону
Биографии
Развитие умственных способностей по Ч. Дарвину
Естественные науки
Открытие пенициллина Александром Флемингом
Естественные науки
Эффективный менеджмент Капицы Петра Леонидовича